Do sentido de beleza em Matemática e do que se mostrou belo para nós na demonstração dos teoremas da incompletude de Gödel

Ano: 2022 | Volume: 24 | Número: 2

Autores: Rosemeire de Fatima Batistela

Palavras-chave: Demonstrações Matemáticas, Evidência Clara, Teoremas da Incompletude, Fenomenologia

Resumo Português:

Neste artigo apresentamos um estudo que teve como pergunta norteadora: O que é a beleza em Matemática e a beleza do teorema da incompletude de Gödel? Buscamos apresentar conteúdo identificável para o que entendemos como beleza no teorema da incompletude de Gödel. Para isso, um estudo bibliográfico foi realizado e diferentes noções de beleza na Matemática são trazidas e articuladas. Também apresentamos nosso entendimento sobre beleza no teorema de Gödel. Compreendemos que o sentido de beleza matemática de um teorema é o de uma iluminação que evidencia o resultado. Além disso, entendemos que essa luz se permite ser vista na medida em que se esteja familiarizado com a teoria e com o ferramental utilizado na demonstração, a ponto de ser possível perceber os axiomas utilizados, a concisão da prova, a originalidade da articulação das ideias, as possibilidades de generalização do resultado e as aberturas de novas frentes de pesquisa. Entendemos também que os conhecimentos construídos por Gödel na elaboração do seu teorema da completude foram fundamentais na visão do problema da consistência da aritmética e na abordagem escolhida para a demonstração da consistência da aritmética que se tornou a demonstração da incompletude da teoria da aritmética.

Resumo Inglês:

In this article we present a study that had as its guiding question: What is beauty in Mathematics and the beauty of Gödel's incompleteness theorem? We seek to present identifiable content for what we understand as beauty in Gödel's incompleteness theorem. For this, a bibliographical study was carried out and different notions of beauty in Mathematics are brought and articulated. We also present our understanding of beauty in Gödel's theorem. We understand that the sense of mathematical beauty of a theorem is that of an illumination that highlights the result. In addition, we understand that this light can be seen to the extent that one is familiar with the theory and the tools used in the demonstration, to the point of being able to perceive the axioms used, the conciseness of the proof, the originality of the articulation of ideas , the possibilities of generalizing the result and the openings of new research fronts. We also understand that the knowledge built by Gödel in the elaboration of his completeness theorem was fundamental in the vision of the problem of the consistency of arithmetic and in the approach chosen for the demonstration of the consistency of arithmetic that became the demonstration of the incompleteness of the theory of arithmetic.

Resumo Espanhol:

En este artículo presentamos un estudio que tuvo como pregunta guía: ¿Qué es la belleza en Matemáticas y la belleza del teorema de incompletud de Gödel? Buscamos presentar contenido identificable para lo que entendemos como belleza en el teorema de incompletud de Gödel. Para ello, se realizó un estudio bibliográfico y se traen y articulan diferentes nociones de belleza en las Matemáticas. También presentamos nuestra comprensión de la belleza en el teorema de Gödel. Entendemos que el sentido de la belleza matemática de un teorema es el de una iluminación que realza el resultado. Además, entendemos que esta luz se puede ver en la medida en que uno está familiarizado con la teoría y las herramientas utilizadas en la demostración, al punto de poder percibir los axiomas utilizados, la concisión de la demostración, la originalidad de la articulación de ideas, las posibilidades de generalización del resultado y la apertura de nuevos frentes de investigación. También entendemos que el conocimiento construido por Gödel en la elaboración de su teorema de completitud fue fundamental en la visión del problema de la consistencia de la aritmética y en el enfoque elegido para la demostración de la consistencia de la aritmética que se convirtió en la demostración de la incompletud de la aritmética. la teoría de la aritmética.

Resumo Francês:

Dans cet article, nous présentons une étude dont la question directrice était : Qu'est-ce que la beauté en mathématiques et la beauté du théorème d'incomplétude de Gödel ? Nous cherchons à présenter un contenu identifiable pour ce que nous entendons par beauté dans le théorème d'incomplétude de Gödel. Pour cela, une étude bibliographique a été réalisée et différentes notions du beau en Mathématiques sont apportées et articulées. Nous présentons également notre compréhension de la beauté dans le théorème de Gödel. Nous comprenons que le sens de la beauté mathématique d'un théorème est celui d'une illumination qui met en valeur le résultat. De plus, on comprend que cette lumière se perçoit dans la mesure où l'on connaît la théorie et les outils utilisés dans la démonstration, au point de pouvoir percevoir les axiomes utilisés, la concision de la preuve, l'originalité de l'articulation des idées, les possibilités de généralisation du résultat et les ouvertures de nouveaux fronts de recherche. On comprend aussi que les connaissances construites par Gödel dans l'élaboration de son théorème de complétude ont été fondamentales dans la vision du problème de la cohérence de l'arithmétique et dans l'approche choisie pour la démonstration de la cohérence de l'arithmétique qui est devenue la démonstration de l'incomplétude de la théorie de l'arithmétique.