Lógica da Dedutibilidade: o axioma modal B e adjunções

Ano: 2021 | Volume: 2 | Número: 3

Autores: C. A. Lázaro, H. de A. Feitosa, M. R. Soares

Palavras-chave: Matemática discreta, Espaços quase topológicos, Lógica TK, Pares de Galois, Adjunção.

Resumo Português:

A lógica da dedutibilidade, ou lógica TK, formaliza no ambiente proposicional a definição do operador de consequência de Tarski. Neste processo de formalização da noção de dedutibilidade, o sistema lógico gerado, a lógica TK, tem um caráter modal para o conceito de dedução. Ela estende a lógica proposicional clássica por meio de um operador unário que retrata, na linguagem da lógica, o operador de consequência de Tarski. A lógica TK tem como modelo algébrico as TK-álgebras e como modelo topológico/conjuntista os espaços quase topológicos, ou espaços de Tarski. Os operadores modais da lógica TK, na sua contraparte topológica, estão associados aos conceitos de fecho e interior, porém estes espaços não coincidem com os usuais espaços topológicos. Iniciamos com a apresentação destas noções. Por outro lado, as conexões de Galois, que têm sua origem motivada na Teoria de Galois, são obtidas a partir dos pares de Galois, que atuam em estruturas de ordem. Flexões nos sentidos em que as ordens entre estas estruturas se aplicam geram os pares de Galois. Num segundo momento, apresentamos estas noções. Inicialmente, constatamos que os operadores de interior e fecho definidos sobre os espaços quase topológicos não determinam algum par de Galois. Mas o que fariam estes operadores caírem na condição de algum par de Galois? Quando analisado no contexto lógico, vislumbramos que a inclusão do conhecido axioma modal B à lógica TK nos daria um tal par. Assim, a contrapartida de tal axioma, no contexto dos espaços quase topológicos, nos levou à obtenção de uma adjunção a partir dos seus respectivos operadores de fecho e interior. 

Resumo Inglês:

Logic TK formalizes in the propositional environment the notion of the Tarski consequence operator. Because that it is called the logic of deductibility. In this process of formalizing the notion of deductibility, the logic obtained has a modal character. It is obtained from the classical propositional logic plus an unary operator relative to the Tarski operator. Logic TK has as its algebraic model the TK -algebras and as topological / set theoretic model the quasi-topological spaces, or Tarski spaces. The modal operators of logic TK are associated, in their topological counterpart, with the concepts of closure and interior. Galois connections, in turn, are originated from Galois theory. They are obtained from the Galois pairs, which act over order structures with changes in the in the orders that define these structures. In a first approach, we find that the interior and close operators of almost topological spaces do not determine a Galois pair. When analysed in the logical context, if we include the well-known modal axiom B on the logic TK the operators determine an adjunction that is a Galois pair. The counterpart of such procedure, in almost topological context, led us to reach an adjunction from the closure and interior operators.