Avaliação de Algoritmos Adaptativos e de Primeira Ordem Aplicáveis à Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Rígidas

Ano: 2004 | Volume: 9 | Número: 1

Palavras-chave: métodos numéricos, métodos adaptativos, equações diferenciais ordinárias

Resumo Português:

Este artigo apresenta uma análise do desempenho de métodos numéricos de passo e ponto únicos e de três métodos adaptativos linearizados de segunda ordem, usados para resolver equações diferenciais ordinárias. Três problemas padrões (benchmark) foram usados para mostrar as eficiências relativas dos métodos propostos e existentes. O primeiro problema padrão relaciona-se à lei de Newton de resfriamento; o segundo a um problema de radiação e o terceiro a uma equação diferencial ordinária altamente rígida, proposta por GEAR (1971). Os esquemas adaptativos propostos originaram-se do método adaptativo de BIXLER (1989). Mostra-se que os métodos trapezoidal e gêmeos de uma perna só (one-leg twins) são equivalentes e muito mais precisos que os métodos explícitos e implícitos de Euler. Porém, devido a sua estabilidade incondicional, o método implícito de Euler pode ser usado em condições em que a eficiência computacional não estiver em jogo e se permitam passos de tempo muito refinados. As formas linearizadas dos esquemas trapezoidal e gêmeos de uma perna só apresentam excelente desempenho, comparável com o esquema adaptativo proposto originalmente por Bixler, que é completamente implícito; porém, eles são mais eficientes uma vez que eles são explícitos, e não requerem aplicações interativas do algoritmo de Newton.

Resumo Inglês:

This paper presents an analysis the performance of one-step-one-point and three linearized second-order adaptive numerical methods used to solve ordinary differential equations. Three benchmark problems were analyzed to show the relative efficiences of the proposed and existing methods. The first benchmark problem relates to Newton's law of cooling, the second to a radiation problem the third to a highly stiff ordinary differential equation, proposed by GEAR (1971). The proposed adaptive schemes are originated from BIXLER's (1989)adaptive method. It is show that the trapezoidal and one-leg twins algorithms are equivalent and much more accurate than Euler's explicit and implicit methods. However, due to its full stability, Euler's implicit method can be used under conditions when computational efficiency is not at stake and very refined time steps are allowed. The linearized forms of the trapezoidal and one-leg twins performed excellently well and in a comparable way to the fully implicit adaptive Bixler scheme; however, they are more efficient because, since they are explicit, they do not require interative applications of Newton' equation solver algorithm.